Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №2 (6) (2017)
ЗАДАЧА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ВОЛЬТЕРОВСКОГО ТИПА С ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Задачи интегральной геометрии - интенсивно развивающееся направление современной математики. Она является одним из крупнейших направлений в теории некорректных задач математической физики и анализа. Ее задачи тесно связаны с многочисленными приложениями - задачами интерпретации данных геофизических исследований, электроразведки, акустики и компьютерной томографии. Одной из центральных проблем интегральной геометрии является восстановление функции, если известны ее интегралы по заданным многообразиям. К данному кругу проблем тесно привыкает задача исследования специальных операторных уравнений - операторных уравнений типа Вольтерра. К операторным уравнениям этого типа сводится ряд обратных задач для дифференциальных уравнений и задачи интегральной геометрии. В работе рассматривается новый класс задач интегральной геометрии вольтеровского типа с весовой функцией специального вида. Доказана теорема единственности, выведены формулы обращения, получены оценки устойчивости в пространствах Соболева, тем самым показана слабая некорректность поставленной задачи. Под слабой некорректностью понимается существование функциональных пространств, для данных задачи и для решения, в определении нормы которых участвует конечное число производных. Доказана теорема о существовании решения исходной задачи интегральной геометрии.
Ключевые слова
задача интегральной геометрии; слабая и сильная некорректность; единственность и устойчивость; integral geometry problem; weakly and strong ill-posedness; uniqueness and stability
THE PROBLEM OF INTEGRAL GEOMETRY OF VOLTERRA TYPE WITH A WEIGHT FUNCTION OF A SPECIAL TYPE
The integral geometry problems are an intensively developing direction of modern mathematics, which is one of the largest directions in the theory of ill-posed problems of mathematical physics and analyses. Its tasks are closely related to numerous applications-the tasks of interpreting data from geophysical studies, electrical reconnaissance, acoustics and computed tomography. One of the central problems of integral geometry is the restore of a function if its integrals over given manifolds are known. To this range of problems, the problem of investigating special operator equations - operator equations of the Voltaire type. To the operator equations of this type reduces a series of inverse problems for differential equations and problems of integral geometry. In this work we consider a new class the Voltaire type problems of integral geometry with a special type weight function. Theorem of uniqueness is proved; the inversion formulas are derived and obtain estimates of a stability in Sobolev’s spaces and thus show their weak ill-posedness of given problem. Under weak ill-posedness is understood the existence of a functional spaces for given problem and for the solution in the definition of the norms of which a finite number of derivatives. The existence’s theorem of a solution the original problem of integral geometry is proved.
Список литературы
-
1. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорретные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
-
2. Лаврентьев М.М. Некорретные задачи математической физики и анализа. Новосибирск.: Наука, 1984.
-
3. Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск.: Наука, 1964.
-
4. Бегматов Акр.Х. Два класса слабо некорректных задач интегральной геометрии на плоскости // Сибирский математический журнал. №2. T. 36. 1995. C.243-247.
-
5. Begmatov Akr.H. (1995) On a class of Weakly ill-posed problems of integral geometry in three-dimensional space. J. Inverse and Ill-Posed problems. №3. T. 3, pp. 231-235.
-
6. Бегматов Акр.Х. Задачи интегральной геометрии для семейства конусов в п-мерном пространстве // Сибирский математический журнал. №4. T. 38. 1997. C.723-737.
-
7. Бегматов Акр.Х. O единственности решения задачи интегральной геометрии вольтерровского типа на плоскости // Доклады академии наук. №2. T. 427. 2009. C.439-441.
-
8. Бегматов Акр.Х., Петрова Н.Н. Задача интегральной геометрии с возмущением на кривых эллиптического типа в полосе // Доклады академии наук. №2. T. 436. 2011. C.151-154.
-
9. Бегматов Акр.Х., Очилов З.Х. Задачи интегральной геометрии с разрывной весовой функцией // Доклады академии наук. №3. 2009.
-
10. Akbar H. Begmatov, Akram H. Begmatov (2003) Problems of integral geometry on curves and surfaces in Euclidean space. Ill-Posed and Non-Classical Problems of Mathematical Physics and Analysis, pp. 1-18.
-
11. Бегматов Акбар Х. Задачи интегральной геометрии с возмущением в трехмерном пространстве // Сибирский математический журнал. №1. T. 41. 2000. C.3-14.