Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №2 (6) (2017)
ОБ ОЦЕНКАХ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛА
В работе получены оценки для преобразования Фурье гладких зарядов (мер), сосредоточенных на некоторых невыпуклых гиперповерхностях. Доказана суммируемость максимальной функции Рэндалла для некоторого класса невыпуклых гиперповерхностей. Кроме того, эти оценки применяются для изучения поведения кратного интеграла, связанного с дисперсионным соотношением дискретного оператора Шредингера. Оценки для сингулярного интеграла основаны на Lp норме преобразования Фурье мер, определенных на множестве уровня дисперсионного соотношения дискретного оператора Шредингера. Для классического непрерывного оператора Шредингера множества уравней являются сферами. Следовательно, соответствующая мера является классической функцией Дирака, определенная на сфере. Преобразование Фурье в этом случае может быть выражено классическими функциями Бесселя. Но для дискретного лапласиана множества уровня являются невыпуклые гиперповерхности. В результате поведение преобразования Фурье мер, намного сложнее. Тем не менее, мы получаем оценки для преобразования Фурье в терминах максимальной функции типа Рэндалла. Эти оценки позволяют найти точный показатель суммируемости такой функции R3. В этом случае точный показатель сходимости совпадает с тройкой, как в строго выпуклом случае. Затем мы используем полученные оценки для исследования поведения сингулярного интеграла при малых значениях параметра η. Малый параметр η равен t-1. Таким образом, мы получаем поведение сингулярного интеграла при больших значениях времени. Следует отметить, что наши результаты могут быть применены к сингулярным интегралам, связанным с дисперсионным соотношением более общих дискретных операторов Шредингера.
Ключевые слова
осцилляторный интеграл; преобразование Фурье; асимптотика; дисперсионное соотношение; oscillator integral; Fourier transform; asymptotics; dispersion relation
ON ESTIMATES FOR SINGULAR INTEGRAL
In this paper there are obtained estimates for Fourier transform of charges (measures), supported on some nonconvex hypersurfaces. It is proved summation of Rendol’s maximal functions for some class of non-convex hypersurfaces. Moreover, the estimates are applied to estimate some singular integral related to the dispersion relation of discrete Schrödinger operator. Estimates for the almost singular integral are based on norm of the Fourier transform of measures supported on level set of the dispersion relation of the discrete Schrödinger operator. For the classical continuous Schrödinger operator level sets are spheres. Hence the coresponding measure is classical Dirac disrtubution supported on the sphere. Consequently, the Fourier transform in this case can be expressed by classical special Bessel functions. Hence, behavior of the Fourier transform is well understood. But, for the discrete Laplacian the level sets are non-convex hypersurface. As a result behavior of the Fourier transform of measures is much more complicated. Nevertheless, we get estimates for Fourier transform in terms of Rendol type maximal function. The estimates allow to find the sharp exponent for summation of such, function over . It is intresting that in the intresting case the sharp exponent of convergence coinsides with three as in the stricly convex case. Then we use the obtained estimates to investigate behavior of the almost singular integral when small parameter tends to zero. The small parameter is . So, we obtain behavior of the singular integral for large time. It should be noted that our results can be applied to investigate behavior of the corresponding singular integrals related to the dispersion relation of the more general discrete Schrödinger operator.
Список литературы
-
1. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними, вып. 1. М.: ГИФМЛ, 1958.
-
2. Икромов И.А. Суммируемость осцилляторных интегралов по параметрам и проблема об ограничении преобразования Фурье на кривых // Математические заметки. №5. T. 87. 2010. C.734-755.
-
3. Erdös L’, Salmhofer M. (2007) Decay of the Fourier transform of surfaces with vanishing curvature. Math. Z. №2. T. 257, pp. 261-294.
-
4. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений, ч. 1. Классификация критических точек каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982.
-
5. Икромов И.А. Суммируемость осцилляторных интегралов по параметрам и проблема об ограничении преобразования Фурье на кривых // Математические заметки. T. 139. 1970. C.278-285.
-
6. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных оператор ов с частными производными. Ч. 1. М.: Мир, 1986.
-
7. Duistermaat J. (1974) Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unifoldings of singularities [Oscillatory integrals, Lagrange immersions and unifoldings of singularities] Comm. Pure Appl. Math. №2. T. 27, pp. 207-281.