Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №3 (7) (2017)
ДОСТАТОЧНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ТРИВИАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ И ОТСУТСТВИЯ ЗАМКНУТЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ТРЕХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Предлагаемая работа посвящена исследованию тривиального решения одной системы трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от десяти параметров. Рассматриваются проблемы устойчивости тривиального решения и существования замкнутых интегральных многообразий в некоторой окрестности начала координат. Используя первый метод Ляпунова, авторы получили достаточные критерии устойчивости тривиального решения системы. Функция Ляпунова рассмотривается в виде где Проблема существования замкнутых интегральных многообразий исследована при помощи обобщенного критерия Бендиксона-Дюляка для трехмерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Получены условия для параметров, при значении которых в системе отсутствуют трехмерные замкнутые интегральные многообразия.
Ключевые слова
система; дифференциальные уравнения; тривиальные решения; устойчивость; критерия Бендиксона; функция Ляпунова; интегральные многообразия; differential equations; system; equilibrium point; stability; Lyapunov function; criterion Bendikson; integrated surfaces
CRITERION OF STABILITY TRIVIAL SOLUTION AND EXIST CLOSED INTEGRATED SURFACES IN ONE OF SYSTEM OF THREE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
In this work the problems about stability of trivial equilibrium state and exist closed integrated surfaces in special type system of three ordinary nonlinear differential equations, is analyzed. To investigate stability of equilibrium state we use the second of Lyapunov method and given sufficiency criterions of stability trivial solution. Using the generalized criterion of Bendikson - Dulac for three dimensional system of the ordinary differential equations we show, that at system in neighborhood of trivial solution cannot exist closed integrated surfaces.
Список литературы
-
Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.
-
Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.