Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Аннотации статей.
Зарубин Александр Николаевич, Чаплыгина Елена Викторовна. НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО СМЕШАННО-СОСТАВНОГО УРАВНЕНИЯ
Исследуется задача Трикоми для функционально-дифференциального смешанно-составного опережающе-запаздывающего уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Доказаны теоремы единственности и существования дважды непрерывно дифференцируемого решения.
The Tricomi problem for the functional-differential mixed-compound advanced - delayed Lavrentyev - Bitsadze equation is investigated. The theorems of uniqueness and existence of a twice continuously differentiable solution are proved.
Будочкина Светлана Александровна. О ГАМИЛЬТОНА-ДОПУСТИМЫХ УРАВНЕНИЯХ, ИХ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛАХ И АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ В МЕХАНИКЕ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМ
При разработке некоторых методов гамильтоновой механики непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы используются, в частности, решения обратных задач вариационного исчисления (ОЗВИ) для уравнений с непотенциальными операторами. На основе методов решения ОЗВИ для таких уравнений могут быть решены задачи о представлении уравнений движения бесконечномерных систем в виде неканонических уравнений Гамильтона. При исследовании движения систем с бесконечным числом степеней свободы также существенную роль могут играть алгебраические структуры, связанные с уравнениями движения. Целью работы является исследование уравнений движения непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы в форме Гамильтона-допустимых уравнений.
Solutions of inverse problems of the calculus of variations (IPCV) for equations with nonpotential operators are used for development of some methods of Hamiltonian mechanics for infinite-dimensional nonpotential systems. The problem of representation of such equations in the form of noncanonical Hamiltonian equations can be studied with the use of methods for solving IPCV. Algebraic structures associated with the equations of motion play an important role in the mechanics of infinite-dimensional systems. The aim of the work is to investigate the equations of motion of infinite-dimensional nonpotential systems in the form of Hamiltonian-admissible equations.
Можарова Татьяна Николаевна. О СУЩЕСТВОВАНИИ И НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРАТОРА j(А) НА АЛГЕБРЕ Н
Автором рассматриваются вопросы, связанные с исследованием условий применимости и непрерывности линейных ограниченных операторов с переменными коэффициентами, действующих в полной локально выпуклой алгебре H .
The author considers the issues related to the study of the conditions of applicability and continuity of linear bounded operators with variable coefficients acting in the full locally convex algebra H .
Елецких Ирина Адольфовна. ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ЛЯПУНОВА К ИССЛЕДОВАНИЮ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
В работе изучаются общие вопросы теории устойчивости по Ляпунову: даны определения устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости точки равновесия, приведены основные положения метода Ляпунова для случая автономных систем. В статье приводятся задачи на исследование качественного поведения динамической системы в точках равновесия с помощью применения первого метода Ляпунова. Использование компьютерных технологий позволяет расширить приложения известных теорем Ляпунова. В частности, получить наглядное представление поведения системы в окрестности точки равновесия, сформулировать обратные теоремы, которые позволяют расширить класс различных процессов и явлений при их математическом моделировании. На примере модели математического маятника исследование на устойчивость и асимптотическую устойчивость точек равновесия проводится с использованием фазовых портретов, с использованием энергетических концепций, с использованием определённым образом заданных функций (функций Ляпунова). Этот пример выявляет важную особенность теоремы устойчивости Ляпунова: эта теорема дает лишь достаточные условия устойчивости. Однако, не выполнение для выбранной функции Ляпунова условий устойчивости или асимптотической устойчивости не означает, что начало координат не является устойчивой или асимптотически устойчивой точкой равновесия системы. Данное положение подтверждается принципом инвариантности Ла-Салля, в котором обобщается теорема Ляпунова за счет ослабления требования относительно отрицательной определенности производной функции Ляпунова, показывается возможность использования в случаях, когда система имеет не только одну изолированную точку равновесия, но и целое множество устойчивых состояний, устанавливается, что функция Ляпунова не обязательно должна быть положительно определенной и её построение не связано с построением положительно инвариантного множества. Предложенное Ла-Саллем обобщение основной теории Ляпунова, рассматривается в случае линейной стационарной системы.
The paper investigates the general questions of the theory of stability according to Lyapunov: the definitions of stability, instability and asymptotic stability, equilibrium points are given, the main provisions are determined for conditions of autonomous systems. The article presents the problems on the investigation of the qualitative behavior of a dynamic system at equilibrium points using the first Lyapunov method. The use of computer technology allows the application of well-known Lyapunov theorems to be expanded. In particular, to obtain a visual representation of the behavior of the system in the vicinity of the equilibrium point, to formulate converse theorems that allow one to expand the class of various processes and phenomena in their mathematical modeling. Using the model of the mathematical pendulum as an example, the investigation of stability and asymptotic stability of equilibrium points is carried out using phase portraits, using energy concepts, using certain functions (Lyapunov functions) given in a certain way. This example reveals an important feature of the Lyapunov stability theorem: this theorem gives only sufficient stability conditions. However, not fulfilling the conditions of stability or asymptotic stability for the chosen Lyapunov function does not mean that the origin of coordinates is not a stable or asymptotically stable equilibrium point of the system. This statement is confirmed by the LaSalle invariance principle, which generalizes the Lyapunov theorem by weakening the requirement for negative definiteness of the derivative of the Lyapunov function, shows the possibility of using in cases when the system has not only one isolated equilibrium point, but also a whole set of stable states; that the Lyapunov function does not necessarily have to be positive definite and its construction is not connected with the construction of a positively invariant set. The proposed by LaSalle generalization of the main Lyapunov theory is considered in the case of a linear stationary system.
Смирнов Евгений Иванович, Зубова Елена Александровна. ТЕХНОЛОГИЯ АДАПТАЦИИ СЛОЖНОГО ЗНАНИЯ К ОБУЧЕНИЮ МАТЕМАТИКЕ
В настоящей статье исследуются процессы модернизации математического образования в школе и вузе с проявлением синергетических эффектов на основе выявления и исследования «проблемных зон» освоения сложного знания средствами информационного, компьютерного и математического моделирования. Исследование касается задач освоения обучающимися сложных математических понятий и процедур в контексте реализации дидактических и компьютерных моделей уровневой и поэтапной самоорганизации когнитивных процессов и наглядного моделирования объектов и процедур. При этом реализуются процессы выявления сущности базовых учебных элементов (площадь поверхности, функциональные зависимости, итерационные процессы, численные и асимптотические методы, геометрические преобразования и фигуры и т.п.) на основе наглядного моделирования. Базовым фактором проявления синергетических эффектов является актуализация современных достижений в науке (фрактальная геометрия, теория кодирования, нечеткие множества и fuzzy-logic, теория распределений Л.Шварца, нелинейная динамика и т.п.) и реализация содержания и структуры адаптации важнейших обобщенных конструкций к наличному состоянию школьных и вузовских математических знаний и компетенций, касающихся анализа и существа возникающей и ассоциированной «проблемной зоны» школьной или вузовской математики. Показана эффективность процессов управления математическим образованием с синергетическим эффектом для развития интеллектуальных операций мышления и повышения качества освоения студентами математических конструктов и процедур в ходе профессиональной предметной подготовки в условиях неопределенности, вариативности и самоорганизации когнитивных процессов.
This article examines the processes of modernization of mathematical education in schools and universities with the manifestation of synergistic effects based on the identification and study of "problem areas" of mastering complex knowledge by means of information, computer and mathematical modeling. The study concerns the tasks of students learning complex mathematical concepts and procedures in the context of the implementation of didactic and computer models of level and phased self-organization of cognitive processes and visual modeling of objects and procedures. At the same time, the processes of identifying the essence of basic educational elements (surface area, functional dependencies, iterative processes, numerical and asymptotic methods, geometric transformations and figures, etc.) are implemented on the basis of visual modeling. The basic factor in the manifestation of synergistic effects is the actualization of modern advances in science (fractal geometry, coding theory, fuzzy sets and fuzzy-logic, L. Schwartz’s distribution theory, nonlinear dynamics, etc.) and the implementation of the content and structure of the adaptation of the most important generalized constructions to the cash the state of school and university mathematics knowledge and competencies related to the analysis and the essence of the emerging and associated “problem zone” of school or university mathematics. The effectiveness of the management processes of mathematical education with a synergistic effect for the development of intellectual operations of thinking and improving the quality of students' mastering mathematical constructs and procedures during vocational subject training under conditions of uncertainty, variability and self-organization of cognitive processes is shown.
Демидова Ирина Ивановна. ИСТОРИЯ ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА В ЛГУ
Анализируется история применения интегральных уравнений Вольтерра для описания особенностей поведения реальных полимерных материалов в неизотермических условиях и для решения задач термовязкоупругости и фототермовязкоупругости.
History of the application of the Volterra’integral equations for the description of the features of the behaviors of a real polymer materials under the non-isothermal conditions and for the decision of the problems for the thermoviscoelasticity and photothermoviscoelasticity.
Богун Виталий Викторович. РЕАЛИЗАЦИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА РАВНОБЕДРЕННЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИНФОРМАЦИОННО-КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
В настоящее время при организации процесса обучения математике в вузах применяются различные виды информационно-коммуникационных технологий для автоматизации процессов выполнения расчетных алгоритмов различной степени сложности с наглядным представлением зависимостей между варьируемыми значениями параметров исходных данных, промежуточных и итоговых результатов вычислений. В данной статье показана реализация тригонометрического анализа равнобедренных треугольников на плоскости с применением разработанного автором программного обеспечения для графического калькулятора и персонального компьютера на локальном и сетевом уровнях для наглядного представления необходимой входной и выходной информации. Основной целью применения представленных программ является автоматизация процесса поиска пропорциональных зависимостей между линейными элементами и визуализации совпадающих компонентов для одного или двух взаимосвязанных равнобедренных треугольников на плоскости на основе реализации тригонометрического анализа угловых параметров треугольников. В данном случае применение информационно-коммуникационных технологий позволяет автоматизировать процесс многократного перебора большого количества вариантов зависимостей между отношениями линейных элементов в численном виде для отбора только пропорциональных соотношений, достоверность которых в свою очередь можно доказать аналитическим путем. Таким образом, благодаря компьютерной реализации соответствующих расчетных алгоритмов можно придти к получению новых закономерностей и формулировке теорем, которые уже в минимальном количестве подвергаются доказательству привычным математическим аппаратом. Реализация студентами вузов тригонометрического анализа равнобедренных треугольников с применением разработанного автором программного обеспечения позволяет учащимся наглядно продемонстрировать интеграцию между математикой и информатикой и способствует формированию у обучаемых необходимых образовательных компетенций в через призму нахождения зависимостей между значениями линейных и угловых параметров объектов на основе варьирования значений исходных данных.
Now at the organization of process of training in mathematics in higher education institutions different types of information and communication technologies are applied to process automation of performance of settlement algorithms of various degree of complexity with evident representation of dependences between the varied values of parameters of basic data, the intermediate and final results of calculations. Implementation of the trigonometrical analysis of isosceles triangles on the plane with application of the software developed by the author for the graphic calculator and the personal computer at the local and network levels for evident submission of necessary input and output information is shown in this article. A main objective of application of the presented programs is automation of process of search of proportional dependences between linear elements and visualization of coinciding components for one or two interconnected isosceles triangles on the plane on the basis of implementation of the trigonometrical analysis of angular parameters of triangles. In this case application of information and communication technologies allows to automate process of repeated search of a large number of options of dependences between the relations of linear elements in a numerical look for selection only of proportional ratios which reliability in turn can be proved in the analytical way. Thus, thanks to computer realization of the corresponding settlement algorithms it is possible to come to obtaining new regularities and the wording of theorems which already in the minimum quantity are exposed to the proof a habitual mathematical apparatus. Realization by students of higher education institutions of the trigonometrical analysis of isosceles triangles with application of the software developed by the author allows pupils to show visually integration between mathematics and informatics and promotes formation at the trained necessary educational competences in through a prism of finding of dependences between values of linear and angular parameters of objects on the basis of variation of values of basic data.
Никулина Елена Вячеславовна, Грибова Елена Николаевна. СТИМУЛИРОВАНИЕ УЧЕБНО-ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В ОБЛАСТИ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ НА МАТЕМАТИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ
Изменения в высшей школе, произошедшие и продолжающие происходить в связи с введением новых государственных образовательных стандартов, сопровождаются пересмотром различных аспектов системы образования (организационных, методических и т.п.). Данные изменения непосредственным образом касаются, в том числе, деятельности преподавателя, как участника образовательного процесса. В современных условиях процесс преподавания учебной дисциплины должен быть направлен на формирование соответствующих компетенций, причём не только профессиональных, но и общепрофессиональных, и универсальных. Это означает, что преподаватель должен пересмотреть все основы методики преподавания конкретной дисциплины, начиная от выявления структуры, этапов формирования и показателей сформированности каждой компетенции и заканчивая разработкой конкретных образовательных технологий. Всё это требует от преподавателя огромной предварительной внеаудиторной работы в условиях неопределённости, когда отсутствуют единые подходы к решению указанных проблем. В статье в рамках компетентностного и деятельностного подходов рассматриваются методы стимулирования учебно-познавательной деятельности студентов классического университета математического факультета в области дополнительного курса по истории математики и факультета социально-политических наук в области непрофильных дисциплин, связанных с ИВТ,. Отмечается тот факт, что профессиональная математическая компетенция необходимо включает в свою структуру мотивационную составляющую (наличие профессиональных потребностей, мотивов, и целей) и практическую (в частности, опыт математической деятельности). При этом стимулирование учебно-познавательной деятельности в области и истории математики и в сфере применения современных информационных технологий рассматривается как одно из направлений развития профессиональных математических компетенций и может быть использовано не только в рамках этих дисциплин, но и более широко - на протяжении всего процесса обучения в вузе.
Changes in higher education, ongoing and ongoing events related to the introduction of new state educational standards are accompanied by a review of various aspects of the educational system (organizational, methodological, etc.). These changes are directly related to the activities of the educational process. In modern conditions, the teaching process should be directed to shared competencies. This means that the teacher must review all the fundamentals of the methodology. All of this requires the teacher to have enormous preliminary working conditions in conditions of uncertainty, when there are no uniform approaches to solving problems. In the article, within the framework of the competence and activity approaches, methods of stimulating educational and cognitive activity of students of the classical university of the Faculty of Mathematics in the field of additional courses in the history of mathematics and the Faculty of Social and Political Sciences in the field of non-core disciplines related to ICT are considered. It is noted that professional mathematical competence necessarily includes in its structure the motivational component (the presence of professional needs, motives, and goals) and practical (in particular, the experience of mathematical activity). At the same time, stimulating educational and cognitive activity in the field of history of mathematics and in the field of application of modern information technologies is considered as one of the directions for the development of professional mathematical competences and can be used not only within these disciplines, but more broadly - throughout the entire learning process high school.
Лыков Евгений Николаевич. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ПРОФЕССИОНАЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННЫМ МАТЕМАТИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ, СПОСОБСТВУЮЩИМ РАЗВИТИЮ УСТОЙЧИВОЙ ПОЗНАВАТЕЛЬНОЙ САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ СТУДЕНТОВ
Конструирование и отбор содержания профессионально ориентированных задач для конкретного занятия со студентами требует особого внимания. В статье рассмотрены основные критерии отбора профессионально ориентированных задач для того чтобы наиболее эффективно формировать устойчивую познавательную самостоятельность студентов. Также здесь отражены основные этапы внедрения комплекса профессионально ориентированных задач. Это позволило выявить основные требования, предъявляемые к профессионально ориентированным задачам, используемые в математической подготовке инженеров. В статье приведены некоторые задачи, используемые на занятиях со студентами разных специальностей, будущих инженеров. Возникновение интереса, побуждает студента к преодолению трудностей, это в свою очередь заставляет поверить в собственные силы и ещё больше развивает интерес. Здесь всё взаимосвязано и приводит к развитию устойчивой познавательной самостоятельности.
The design and selection of the content of professionally focused tasks for specific classes with students demands special attention. The article describes the main criteria for the selection of professionally focused tasks that most effectively form steady cognitive independence of students. There are also the main stages of introduction of a complex of professionally focused tasks in the article. We revealed the main requirements for professionally focused tasks, used in mathematical training of engineers. The article describes some of the tasks used in the classroom with students of different specialties. The developing of interest encourages students to overcome difficulties. It leads students to believe in their own strength and develops their interest. Everything is interconnected and leads to development of steady cognitive independence.
Лыкова Ксения Геннадьевна. О ПРОБЛЕМАХ ВНЕДРЕНИЯ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ В СИСТЕМЕ ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ РАЗВИТИЯ ВЕРОЯТНОСТНОГО СТИЛЯ МЫШЛЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ГЛОБАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИЗАЦИИ
Статья посвящена актуальной проблеме качественной подготовки школьников к Единому государственному экзамену по математике профильного уровня в результате формирования вероятностного стиля мышления средствами информационных технологий. Дана характеристика компонентов, определяющих развитие вероятностного стиля мышления. Предложена содержательная составляющая элективного курса по математике в системе общего образования. Представлена группа заданий, способствующих совершенствованию каждого из типов мышления.
The article is devoted to the actual problem qualitative training students for the Unified state exam in mathematics of the profile level as a result of the formation of probabilistic style of thinking by means of information technologies. In the article is the characteristic of the components determining the development of probabilistic style of thinking. The content of the components is proposed of the elective course in mathematics in the system of General education. Presented to the Group of tasks is contribute to the improvement of each type of thinking.
Хижняк Анастасия Викторовна. ОСОБЕННОСТИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ШКОЛЕ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТЕХНОЛОГИИ ГЛУБОКОГО МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ
В работе рассмотрены актуальные на сегодняшний день методики преподавания математики в старших классах средней общеобразовательной школы, в том числе методика обучения математике с применением информационно-телекоммуникационных технологий. Описан российский опыт разработки и внедрения обучающих систем, основанных на технологиях искусственного интеллекта (глубокое машинное обучение). Описана структура и принципы работы указанного программного обеспечения. Приведены некоторые особенности внедрения и эксплуатации интеллектуального программного обеспечения в образовательную систему средней общеобразовательной школы. Описан практический опыт применения технологии глубокого машинного обучения в математическом образовании старших классов средней общеобразовательной школы. Рассмотрены основные эффекты, возникающие при внедрении методики обучения математике с применение указанной технологии. Указаны факторы, сдерживающие процессы интеграции технологии глубоко машинного обучения в педагогическую систему школы.
The article deals with modern methods of teaching mathematics at the higher educational, including methods of teaching mathematics using information and telecommunication technologies. The article describes the domestic experience in the development and implementation of training systems based on artificial intelligence technologies, including deep machine learning technologies. The main effects arising in the implementation of methods of teaching mathematics using this technology are described. The structure and operating principles of the specified software are described. Some features of the implementation and functioning of neural network software in the University, as well as methods of teaching mathematics using neural network software, as well as factors that prevent the integration of deep machine learning technology in the pedagogical system of the higher educational. The paper deals with the current methods of teaching mathematics in secondary school, including methods of teaching mathematics with the use of information and telecommunication technologies. The Russian experience in the development and implementation of training systems based on artificial intelligence technologies (the deep machine learning) is described. The structure and operating principles of the specified software are described, some features of the implementation and operation of intelligent software in the educational system of secondary school. Described practical experiences with the application of technologies for deep machine learning in mathematical education in the secondary school. Describes the main effects arising from the implementation of methodology of teaching mathematics with the use of this technology. The factors hindering the process of integration of deep machine learning technology in the pedagogical system of the school.