Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №2 (14) (2019)
УДК 517
ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДА ЛЯПУНОВА К ИССЛЕДОВАНИЮ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
В работе изучаются общие вопросы теории устойчивости по Ляпунову: даны определения устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости точки равновесия, приведены основные положения метода Ляпунова для случая автономных систем. В статье приводятся задачи на исследование качественного поведения динамической системы в точках равновесия с помощью применения первого метода Ляпунова. Использование компьютерных технологий позволяет расширить приложения известных теорем Ляпунова. В частности, получить наглядное представление поведения системы в окрестности точки равновесия, сформулировать обратные теоремы, которые позволяют расширить класс различных процессов и явлений при их математическом моделировании. На примере модели математического маятника исследование на устойчивость и асимптотическую устойчивость точек равновесия проводится с использованием фазовых портретов, с использованием энергетических концепций, с использованием определённым образом заданных функций (функций Ляпунова). Этот пример выявляет важную особенность теоремы устойчивости Ляпунова: эта теорема дает лишь достаточные условия устойчивости. Однако, не выполнение для выбранной функции Ляпунова условий устойчивости или асимптотической устойчивости не означает, что начало координат не является устойчивой или асимптотически устойчивой точкой равновесия системы. Данное положение подтверждается принципом инвариантности Ла-Салля, в котором обобщается теорема Ляпунова за счет ослабления требования относительно отрицательной определенности производной функции Ляпунова, показывается возможность использования в случаях, когда система имеет не только одну изолированную точку равновесия, но и целое множество устойчивых состояний, устанавливается, что функция Ляпунова не обязательно должна быть положительно определенной и её построение не связано с построением положительно инвариантного множества. Предложенное Ла-Саллем обобщение основной теории Ляпунова, рассматривается в случае линейной стационарной системы.
Ключевые слова
устойчивость; неустойчивость; асимптотическая устойчивость автономная система; линейная стационарная система; принцип инвариантности; stability; instability; asymptotic stability autonomous system; linear stationary system; invariance principle
APPLICATION OF THE METHOD OF LYAPUNOV TO INVESTIGATE ON THE STABILITY OF LINEAR STATIONARY SYSTEMS
The paper investigates the general questions of the theory of stability according to Lyapunov: the definitions of stability, instability and asymptotic stability, equilibrium points are given, the main provisions are determined for conditions of autonomous systems. The article presents the problems on the investigation of the qualitative behavior of a dynamic system at equilibrium points using the first Lyapunov method. The use of computer technology allows the application of well-known Lyapunov theorems to be expanded. In particular, to obtain a visual representation of the behavior of the system in the vicinity of the equilibrium point, to formulate converse theorems that allow one to expand the class of various processes and phenomena in their mathematical modeling. Using the model of the mathematical pendulum as an example, the investigation of stability and asymptotic stability of equilibrium points is carried out using phase portraits, using energy concepts, using certain functions (Lyapunov functions) given in a certain way. This example reveals an important feature of the Lyapunov stability theorem: this theorem gives only sufficient stability conditions. However, not fulfilling the conditions of stability or asymptotic stability for the chosen Lyapunov function does not mean that the origin of coordinates is not a stable or asymptotically stable equilibrium point of the system. This statement is confirmed by the LaSalle invariance principle, which generalizes the Lyapunov theorem by weakening the requirement for negative definiteness of the derivative of the Lyapunov function, shows the possibility of using in cases when the system has not only one isolated equilibrium point, but also a whole set of stable states; that the Lyapunov function does not necessarily have to be positive definite and its construction is not connected with the construction of a positively invariant set. The proposed by LaSalle generalization of the main Lyapunov theory is considered in the case of a linear stationary system.
Список литературы
-
Халил Х.К. (2009) Нелинейные системы. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований.
-
Ла-Салль Ж., Лефшец С. (1964) Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: МИР.
-
Мелякова О.Ю. (2016) Исследование устойчивости нелинейных систем на примере уравнения маятника // Международный студенческий научный вестник, вестник №3 (часть3) М.: ИД «Академия естествознания».
-
Барбашин Е.А. (2013) Введение в теорию устойчивости. М.: Наука.