Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №3 (15) (2019)
УДК 517.9, 519.6
ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИКИ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ СООБЩЕСТВ
Работа посвящена исследованию устойчивости многомерных математических моделей популяционной динамики. Рассмотрены вопросы синтеза и анализа многомерных моделей динамики численности взаимосвязанных сообществ. Построена обобщенная многомерная динамическая модель с учетом различных типов взаимодействий фазовых переменных. Предложены условия устойчивости на основе принципа редукции задачи об устойчивости решений дифференциальных включений к задаче об устойчивости решений других типов уравнений. Указанный принцип предполагает переход от векторных обыкновенных дифференциальных уравнений к векторному дифференциальному включению и нечёткому дифференциальному уравнению, с учётом изменения параметров того или иного типа в исследуемых моделях. Для трехмерной модели, являющейся частным случаем многомерной модели, проведена оценка модельных параметров и построены фазовые портреты. Найдены стационарные состояния, проведены серии компьютерных экспериментов и исследована устойчивость указанной модели с помощью инструментального программного обеспечения, символьных вычислений и численных методов. Рассмотренный подход может найти применение в задачах исследования нелинейных моделей с различными типами взаимодействия.
Ключевые слова
динамическая модель; популяционная динамика; символьные вычисления; устойчивость; фазовый портрет; принцип редукции; dynamic model; population dynamics; symbolic calculations; stability; phase portrait; principle of reduction
RESEARCH OF THE STABILITY OF MULTIDIMENSIONAL MATHEMATICAL MODELS OF POPULATION DYNAMICS
The work is devoted to the research of the stability of multidimensional mathematical models of population dynamics. The problems of synthesis and analysis of multidimensional models of the dynamics of the number of interconnected communities are considered. A generalized multidimensional dynamic model is constructed taking into account various types of interactions of phase variables. Stability conditions are proposed based on the reduction principle of the problem of the stability of solutions of differential inclusions to the problem of the stability of solutions of other types of equations. This principle implies a transition from vector ordinary differential equations to vector differential inclusion and a fuzzy differential equation, taking into account changes in the parameters of a particular type in the models under study. For a three-dimensional model, which is a special case of a multidimensional model, model parameters have been estimated and phase portraits have been constructed. Stationary states were found, a series of computer experiments were carried out, and the stability of this model was investigated using tool software, symbolic calculations and numerical methods. The considered approach may find application in the study of nonlinear models with different types of interaction.
Список литературы
-
Demidova А.V., Druzhinina О.V., Jacimovic M, Masina O.N., Мijajlovic N. Synthesis and analysis of multidimensional mathematical models of population dynamics // Proceedings of the Selected Papers of the 10th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems ICUMT (Moscow, Russia, November 5-9, 2018). New York: IEEE Xplore Digital Library. IEEE Catalog Number CFP 1863G-USB. P. 361-366.
-
Lotka A. Elements of physical ecology. Baltimora: Williams and Wilkins, 1925.
-
Базыкин А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2003.
-
Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.
-
Александров А.Ю., Платонов А.В., Старков В.Н., Степенко Н.А. Математическое моделирование и исследование устойчивости биологических сообществ. СПб.: «Лань», 2017.
-
Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы исследования устойчивости и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. М.: ВЦ РАН, 2009.
-
Пых Ю.А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики. М.: Наука, 1983.
-
Тарова Е.Д. Качественное исследование четырехмерной модели популяционной динамики с помощью первого метода Ляпунова // Нелинейный мир. 2018. № 3. С. 17-24.
-
Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978.