Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №3 (19) (2020)
УДК 519.651
DOI 10.24888/2500-1957-2020-3-84-89
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ НАХОЖДЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
В статье рассматривается задача аппроксимации кусочно-непрерывной функции простейшей тригонометрической функцией (тригонометрическим полиномом первого порядка). Такого рода приближения широко используются, например, в задачах сжатия данных, при исследовании функций. Отличие от традиционного подхода заключается в нахождении наилучшей частоты, а не выборе из обратных кратным интервалу приближения периодов. Наилучшее приближение в статье рассматривается в смысле квадратичной интегральной метрики L2. Показано, что задача сводится к отысканию минимума функции одной переменной - частоты, с помощью найденных выражений критических значений амплитуды и сдвига фазы. Явно приведен вид этой функции частоты (зависящей от входной информации посредством интегралов типа косинус- и синус-преобразования Фурье). Для дискретной входной информации предложено кусочно-линейная интерполяция исходной функции. Для такого случая проведено численное исследование функции частоты на примере отрезка звукового файла. Указаны возможные проблемы дальнейшего исследования этой задачи. Автор полагает, что статья также может быть полезна студентам математических направлений в качестве демонстрации комплексного подхода с привлечением знаний из разных разделов математики и информатики.
ON ONE METHOD OF HARMINIC APPROXIMATION
The article concerns the problem of an approximation of a piecewise-linear function with the simplest trigonometric function (trigonometric polynomial of the first order). Such approximations are widely used in data compression or in function analysis, for example. The difference from traditional approach is in finding the best-suited frequency, and not only choosing from inverse multiples of the length of approximation interval. The best approximation in this article is considered in the sense of integral quadratic L2 norm. It is shown that the problem can be reduced to the problem of searching the minimum of a function of one real variable. The latter variable is named frequency, and expressions for the critical values of amplitude and phase are found. The explicit form of the function which minimum gives the best frequency is found. Dependency of this function of the input data occurs by the means of integrals of an input function of the type of cosine- and sine-Fourier transform of an input data. For discrete input data, it is assumed to use piecewise-linear approximation. For such case numerical investigation was performed. A chunk of audio file was chosen as the input data. Probable further issues of the problem are pointed out on the basis of obtained results. Author considers this article as a useful example for math students of complex approach to mathematical problem solving involving not only different mathematical disciplines but also computer science applications.
Список литературы
-
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.
-
Гайдов Ю.А., Голубятников В.П., Голубятников И.В. О циклах в нелинейных динамических системах специального вида // Ломоносовские чтения на Алтае: Сборник научных статей международной школы-семинара: в 4 частях. Под редакцией Родионова Е.Д., Барнаул: Алт. гос. пед. академия, 2012. С. 272-278.
-
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.
-
Роженко А.И. Вариационные сплайны. Алгоритмы построения. Новосибирск: НГУ, 2009.
-
Brandenburg, Karlheinz, Bosi, Marina. MP3 and AAC Explained // Proc. Audio Engineering Society Conference: 17th International Conference: High-Quality Audio Coding. 1999. URL: http://www.aes.org/e-lib/browse.cfm?elib=8079 (дата обращения: 14.07.2020)