Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №3 (7) (2017)
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ МЕТОДОМ СТЕПЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ
В общем случае система Фоккера-Планка с заданным гамильтонианом не является интегрируемой. Только в случае, когда и общий интеграл этой системы получен в работах Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. (1980), а также Yoshida H (1983). В работе А.Д. Брюно и А.С. Солеева (1995), посвященной гамильтоновым системам, указан алгоритм нахождения гамильтоновых укорочений гамильтоновых систем. Известно, что не каждое укорочение гамильтоновых систем является гамильтоновым. Алгоритм, предложенный в работах А.Д. Брюно и А.С. Солеева (1995), позволяет находить степенные приближения, то есть укороченные системы, которые сами являются гамильтоновыми и дают решения заданных систем. Следуя методике работ А.Д. Брюно и А.С. Солеева (1995), при помощи алгоритма вычисления находятся многогранники и нормальные конуса его граней. В работе изучается укорочение Фоккера-Планка с заданным гамильтонианом. Найдено гамильтоново укорочение системы Фоккера-Планка и получено решение данной укороченной системы. В силу того, что укороченная система является асимптотически первым приближением исходной системы, найденное решение является первым приближением к решению системы Фоккера-Планка с заданным гамильтонианом.
Ключевые слова
система Гамильтона; укорочения; степенные приближения; дифференциальные уравнения; асимптотика; многогранник Ньютона; элементы многогранника; Hamilton system; shortenings; degree approximation; differential equations; asymptotic behavior; Newton polyhedron; pol
THE SOLUTION OF HAMILTON SYSTEM BY POWER GEOMETRY METHOD
In general, the Fokker-Plank system with given Hamiltonian is non-integrable. Just in case of values and , and results on general integral of this system are obtained in Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. (1980), and Yoshida H. (1983). The algorithm of computation of Hamilton shortening of Hamilton systems can be found in Bruno A.D., Soleev A.S. (1995), that is devoted to Hamilton systems. It is also known, that we can see non every shortening of Hamilton systems be Hamiltonian. We use the algorithm, proposed in BrunoA.D., Soleev A.S. (1995), to find degree approximation, that is precisely shortening systems, that are Hamiltonian and allow to obtain the solutions of the given systems. It can be found, that polyhedrons and normal cone of sides are computed by using the algorithm and the given methods by Bruno A.D., Soleev A.S. (1995). In this paper, we study the shortening of Fokker-Plank with the given Hamiltonians. Hamilton shortening of Hamilton systems are defined and according to that we also have the solution of the given shortened system. Taking into account that the shortening system represents the first asymptotic approximation of initial system, the computed solution is considered to be the first approximation to the solution of Fokker-Plank systems with the given Hamiltonian.
Список литературы
-
Bruno A. D. (1981) On periodic flybys of the moon. Celestial Mechanics 24, №3 255-268.
-
Солеев А., Арансон А. Вычисление многогранника и нормальных конусов его граней. М.: Ин-т прикл. математики, 1994. 25 с.
-
Roekaerts D., Schwarz F. (1987) Painleve analysis, Yoshida's theorems and direct methods in the search for integrable Hamiltonians. J. Phys. A. Math. Gen., v. 20, p. 127-133.
-
Bruno A. D., Soleev A. (1997) Local analysis of a reversible ODE system and the Newton polyhedron // Nonlinear Anal. V. 30. №8. P. 4833-4838.
-
Солеев А., Брюно А. Д. Многогранник Ньютона и системы Гамильтона // Вестник МГУ. Сер. 1. Математика, механика. №6. 1995. C.84-86.
-
Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. (1980) A connection between nonlinear evolutions and ordinary differential equations of P-type. J. Math. Phys., v. 21, №4.
-
Yoshida H. (1983) Necessary condition for the existence of algebraic first integrals. Celest. Mech., v. 31, №4, p. 363-379. p. 381-399.