Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №3 (7) (2017)
ЗАДАЧА ИНТЕГРАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ СЕМЕЙСТВА ПАРАБОЛ НА ПЛОСКОСТИ
Интегральная геометрия представляет собой один из важнейших разделов теории некорректных задач математической физики и анализа. Актуальность задач интегральной геометрии обусловлена развитием топографических методов, представляющих повышенные требования к глубине применяемых результатов, тем обстоятельством, что к решению задач интегральной геометрии сводится ряд многомерных обратных задач для дифференциальных задач с частными производными, а также внутренними потребностями развития теории некорректных задач математической физики и анализа. В настоящей работе рассмотрена задача восстановления функции по семейству парабол в верхней полуплоскости с весовой функцией, имеющей особенность. Доказана теорема единственности решения уравнения и выведена формула обращения. Показано, что решение поставленной задачи слабо некорректно, то есть получены оценки устойчивости в пространствах конечной гладкости.
Ключевые слова
Слабо некорректные задачи; преобразование Фурье; теоремы единственности; весовая функция; ill-posed problems; integral geometry problems; integral transforms; inversion formula; existence theorem
THE INTEGRAL PROBLEM OF GEOMETRY FOR FAMILY OF PARABOLAS ON THE PLANE
Integral geometry is one of the most important sections of the theory of ill-posed problems of mathematical physics and analysis. The urgency of the problems of integral geometry is due to the development of tomographic methods, which raise the requirements for the depth of the applied results, the fact that the solution of problems of integral geometry reduces a number of multidimensional inverse problems for partial differential problems, as well as the internal development needs of the theory of ill-posed problems of mathematical physics and analysis. In this work we consider the problem of reconstructing a function from a family of parabolas in the upper half-plane with a weight function having a singularity. The uniqueness of theorem for the solution of equation is proved and the inversion formula is derived. It is shown that the solution of the problem posed is weakly ill-posed, that is, stability estimates are obtained in spaces of finite smoothness.
Список литературы
-
Романов В.Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука, 1972.
-
Лаврентьев М.М. Интегральная геометрия и обратные задачи // Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука. 1984. C.81-86.
-
Лаврентьев М.М., Бухгейм А.Л. Об одном классе задач интегральной геометрии // Доклады АН СССР. №1. T. 311. 1973. C.38-39.
-
Лаврентьев М.М., Бухгейм А.Л. Об одном классе операторных уравнений первого рода // Функциональный анализ и его приложения. №4. T. 7. 1973. C.44-53.
-
Мухометов Р.Г. О задаче интегральной геометрии // Математические проблемы геофизики. №6. T. 2. 1975. C.212-242.
-
Бегматов Акр.Х. Два класса слабо некорректных задач интегральной геометрии на плоскости // Сибирский математический журнал. №2. T. 36. 1995. C.243-247.
-
Begmatov Akram H. (1995) On a class of weakly ill-posed Volterra-type of integral geometry in the three-dimensional space // J. Inverse and Ill-Posed Problems. Vol. 3. №3. P. 231-235.
-
Бегматов Акр.Х. Вольтеровские задачи интегральной геометрии на плоскости для кривых с особенностями // Сибирский математический журнал. №4. T. 38. 1997. C.723-737.
-
Бегматов Акр.Х. Задачи интегральной геометрии по специальным кривым и поверхностям с особенностями в вершинах // Доклады РАН. №2. T. 358. 1998. C.151-153.
-
Begmatov Akbar H. and Begmatov Akram H. (2003) Problems of integral geometry on curves and surfaces in Euclidean space // Ill-Posed and Non-Classical Problems of Mathematical Physics and Analysis, M.M. Lavrent’ev et al., Eds., Proceedings of International Conference, VSP, Utrecht-Boston, 1-18.
-
Бегматов Акбар Х. Задачи интегральной геометрии с возмущением в трехмерном пространстве // Сибирский математический журнал. №1. T. 41. 2000. C.3-14.