Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №3 (7) (2017)
О ТОЧНЫХ ОЦЕНКАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ОБОБЩЕННОЙ КОНЕЧНОЙ ВАРИАЦИИ ПОСРЕДСТВОМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Для функций с особенностями или с небольшой гладкостью полиномы и рациональные функции могут давать плохие приближения, а сплайны обычно дают хорошие приближения как более естественный аппарат приближения, чем многочлены или рациональные функции. Это также подтверждается сравнением результатов статьи [1] с хорошо известными результатами полиномиальных и рациональных аппроксимаций функций из рассматриваемых функциональных классов, которые посвящены точным в смысле порядка малости оценкам наилучших приближений полиномиальными сплайнами минимального дефекта со свободными узлами на конечном отрезке в равномерной и в интегральных метриках функций из следующих функциональных классов: а) класс всех выпуклых функций, удовлетворяющих условию Липщица - Гёльдера; b) класс всех функций с выпуклыми производными; с) класс всех функций с обобщенной конечной вариацией. В статье [2] доказаны точные в смысле порядка малости оценки наилучших сплайн приближений функций с производной обобщенной конечной вариации, заданных на конечном отрезке прямой в равномерной и в интегральных метриках. Они являются обобщениями результатов статьи [1], где установлены точные в смысле порядка малости оценки для наилучших кусочно-линейных приближений функций обобщенной конечной вариации в интегральных метриках. В настоящей статье доказаны точные в смысле порядка малости оценки наилучших рациональных приближений функций с производной обобщенной конечной вариации на конечном отрезке в равномерной и в интегральных метриках. Они являются основными результатами этой статьи, показывающими такие же скорости приближения, что и результаты статьи [2]. В них показано, что скорости рациональных и сплайн приближений существенно лучшие, чем скорости соответствующих полиномиальных приближений и не улучшаемы в смысле порядка малости. Поэтому эти результаты актуальны и ясно, что к выше упомянутым функциональным классам а), b), c) можно присоединить ещё один класс d) - всех функций с производной обобщенной конечной вариации.
Ключевые слова
точная оценка; сплайн функция; рациональная функция; обобщенная конечная вариация; класс функций с обобщенной конечной вариации; класс функций с производной обобщенной конечной вариации; сплайн приближение функций; рациональное приближение функций; в равно
ON THE EXACT ESTIMATES OF THE BEST APPROXIMATIONS OF FUNCTIONS WITH DERIVATIVE OF GENERALIZED FINITE VARIATION BY RATIONAL ONES
For the function with singularities or with non-great smoothness polinomal and rational function can give a bad approximations, but the splines are more nutural apparatus of approximation than polynomials and rational functions odinary give the good approximations. It is also confirmed by comparison of the results of article [1] with well-known polynomial and rational approximations of functions from considering functional classes, which is devoted to the exact in the sense of the order of smallness estimates of the best approximations by polynomial splines of the minimal defect with free knots on a finite segment in uniform and in integral metrics of functions from the following functional classes: the class of all convex functions, satisfying the Lipschits-Hӧlder condition; the class of all functions with convex derivatives; the class of all functions with generalized finite variation. In the article [2] the exact in the sense of the order of smollness estimates of the best spline approximations of functions with derivative of the generalized finite variation given on a finite segment of the straight line in uniform and in integral metrics are proved. They are generalizations of the results of the article [1], where the exact in the sense of the order of smallness estimates for the best piecewise-liner approximations of functions of the generalized finite variation in integral metrics are established. In present article the exact in the sense of the order of smallness estimates of the best rational approximations of functions with derivative of the generalized finite variation on a finite segment in uniform and in integral metrics are proved. They are main rezults of this article, shoving the same rates of approximations that and resultets of the article [2]. These results are showed that the rates of rational and spline approximations essantially letter than the rates of the corresponding polynomial approximations and non-improving in sense of the order of smallness. So these results actual and clearly that to mentioned above the classes of a), b), c) can be added another class d) - all funtions with derivative of the generalized finite variation.
Список литературы
-
Khatamov A., On the exact estimates of the best spline approximations of functions. Electronic Transactions on Numerical Analysis. Kent State University (USA), 2006. V.25. p. 446-453.
-
Khatamov A., On estimates of the best approximations of functions with derivative of generalized finite variation by polynomial splines. Uzbek math. jour. Tashkent, 2015. №3. p. 164-173.
-
Загиров Н.Ш. О приближении функций обобщенной конечной вариации посредством рациональных функций. Матем заметки. Москва, 1982. Т. 32. №5. C. 657-668.
-
Musielac J., Orlich W. On generalized variation (l). Studia Math. 1959. p. 11-41.
-
Popov V.A. On the connection between rational and spline approximation. C.R.Acad.Bulg. Sci,1975. №5. p. 623-626.
-
Тиман А.Ф., Теориа предложения функцый действительного переменного. Физматгиз, Москва, 1960.
-
Petrushev P.P., Popov V.A., Rational approximation of real functions. Combridge university press. Combridge, 1987. p. 244-257.