Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №3 (7) (2017)
ИССЛЕДОВАНИЕ TS-МОДЕЛИ МАЯТНИКОВОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛЕННОГО АЛГОРИТМА ЛОУСОНА
В статье изложены теоретические аспекты моделирования и анализа устойчивости управляемых маятниковых систем с логическим регулятором на примере модели обратного маятника. С помощью подхода, базирующегося на применении логических регуляторов и на аппроксимации исходной модели управляемой системы моделью Такаги-Суджено (TS-моделью), построена TS-модель обратного маятника. Применение редукции к числу правил позволило модифицировать синтезированную модель. Для изучения устойчивости TS-модели обратного маятника разработан логический регулятор на основе метода параллельной распределенной компенсации. Указанный метод заключается в том, что каждое правило регулятора строится из соответствующего правила TS-модели. Образующийся общий логический регулятор, являющийся нелинейным, представляет собой сочетание отдельных линейных регуляторов. При этом логический регулятор использует те же нечеткие множества, что и модель в исходных частях, и в расчет берется только локальная эффективность каждого правила. Для TS-модели обратного маятника определена функция Ляпунова, получены условия асимптотической устойчивости в виде набора линейных матричных неравенств. Дано обоснование и описание численного алгоритма Лоусона, используемого в работе при создании комплекса программ для изучения динамики моделей управляемых маятниковых систем. Перечислены основные модули программы и их функции. Приведены результаты численного анализа модифицированной TS-модели обратного маятника. В вычислительной среде Matlab построены графики, демонстрирующие эффективность применения синтезированного логического регулятора при достаточно больших углах отклонения маятника.
Ключевые слова
управляемая система; устойчивость; перевернутый маятник; TS-модель; численный алгоритм Лоусона; operated system; stability; inverted pendulum; TS-model; numerical algorithm of Lawson
RESEARCH TS-MODEL OF PENDULAR SYSTEM BY MEANS OF THE NUMERICAL ALGORITHM OF LAWSON
In article theoretical aspects of modeling and the analysis of stability of the operated pendular systems with the logical regulator on the example of model of the inverted pendulum are stated. On the basis of the approach which is based on use of logical regulators and on approximation of initial model of the operated system TS-model the TS-model of inverted pendulum is constructed. Application of a reduction to number of rules has allowed to modify the synthesized model. The logical regulator by means of a method of the parallel distributed compensation is developed for studying of stability of TS-model of the inverted pendulum. The specified method is that each rule of the regulator is under construction of the corresponding rule of TS-model. The formed general logical regulator which is nonlinear represents a combination of separate linear regulators. At the same time the logical regulator uses the same indistinct sets, as model in initial parts, and only local efficiency of each rule is taken into account. For TS-model of the inverted pendulum Lyapunov's function is defined, conditions of asymptotic stability in the form of a set of linear matrix inequalities are received. Justification and the description of a numerical algorithm of Lawson used in work during creation of a complex of programs for studying of dynamics of models of the operated pendular systems is given. The main modules of the program and their function are listed. Results of the numerical analysis of the modified TS model of the inverted pendulum are given. In the computing Matlab environment the schedules showing efficiency of use of the synthesized logical regulator at rather big corners of a deviation of a pendulum are constructed.
Список литературы
-
Игонина Е.В. Исследование устойчивости и компьютерное моделирование маятниковой системы управления // Школа-семинар молодых ученых «Фундаментальные проблемы системной безопасности». Елец. 2014. C.93-99.
-
Дружинина О.В., Игонина Е.В., Масина О.Н. Моделирование и стабилизация динамических систем с логическими регуляторами // Сообщение по прикладной математике. М.: ВЦ РАН. 2015. C.68.
-
Douglas Lawson J. (1967) Generalized Runge-Kutta processes for stable systems with large Lipshitz con-stants // SIAM J. Numer. Anal. V. 4. № 3. P. 372-380.