Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №3 (7) (2017)
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВАРИАЦИОННЫХ ИТЕРАЦИЙ К ПРИБЛИЖЕННОМУ РЕШЕНИЮ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Интегро-дифференциальные уравнения нашли успешное применение во многих приложениях физики, механики, химии, биологии. Существуют многочисленные методы, посвященные решению интегро-дифференциальных уравнений, такие как метод многочленов Чебышева, гибридные функции Лежандра, метод многочленов Тейлора, метод дифференциального преобразования, метод вариационных итераций (МВИ), метод многочленов Бесселя, метод Тейлора, метод разложения Адомиана, численные методы и др. [1-2]. Анализ научных работ, опубликованных зарубежными учеными [1-2], показывает, что метод вариационных итераций и его модификации успешно применены ко многим приложениям прикладных наук. В 1997 году был разработан новый и эффективный метод решения нелинейных моделей, так называемый метод вариационных итераций, ученым J.H. He [1], который был успешно применен ко многим нелинейным проблемам. Этот метод не требует дискретизации переменных, вычисления ошибки округления, не требует малых параметров, которые необходимы для некоторых других методов. Целью данной работы является примение МВИ к решению линейных и нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра и Фредгольма, а также подтвердение надежности данного метода в обработке научных проблем. В этой работе МВИ использован к приближенному решению типичных линейных и нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра и Фредгольма разного порядка и разного типа. Результаты этого метода сходятся быстрее к точному решению для некоторых нелинейных проблем.
Ключевые слова
интегро-дифференциальные уравнения; метод вариационных итераций; начальное приближение; приближенное решение; integro-differential equations; variational iterations method; initial approach; approximate solution
APPLICATION THE VARIATIONAL ITERATION METHOD FOR THE APPROXIMATE SOLUTION OF INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION
The integro-differential equations found successful application in many applications of applied sciences, as in science and technology, physics, mechanics, chemistry, biology [1-2]. There are numerous methods devoted to the solution of the integro-differential equations such as method of polynoms of Chebyshev, hybrid functions of Legendre, a method of polynoms of Taylor, a method of differential conversion, a variational iterations method, a method of polynoms of Bessel, Taylor's method, Adomian decomposition method, numerical method, etc. [1-2]. The analysis of scientific operations, published a row by foreign scientists [1-2] show that the variational iterations method and its modification are successfully applied to many applications of applied sciences. In 1997 new idle time, the best and effective method of the solution of non-linear models, a so-called variational iterations method was developed by scientific J.H. He [1] which it was successfully applied to many non-linear problems. This method doesn't require sampling variables, there is no computation of a rounding-off error, doesn't require small parameters which are necessary for some methods. The purpose of this operation is to apply a method of variational iterations to the solution of the linear and non-linear integro-differential equations of Voltaire and Fredholm, and also to confirm reliability of this method in processing of scientific problems. In this operation the variational iterations method is used to approximate solution typical the linear and non-linear integro-differential Voltaire and Fredholm equations of a different order and different type. Results of this method meets quicker to the exact decision for some non-linear problems. Variational iterations method very effective and idle time.
Список литературы
-
He. J.H. (2007) Variational iteration method-Some recent results and new interpretations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207, 3-17.
-
Wazwaz A.M. (2011) Linear and Nonlinear Integral Equations: Method and Applications. Chicago: Saint Xavier University, 658 p.