Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №1 (9) (2018)
О ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ГРУБЫХ В КРУГЕ ПУАНКАРЕ
В работе рассматриваются дифференциальные уравнения первого порядка , правые части которых являются полиномами степени, не превосходящей числа n . Множество таких уравнений отождествляется с (n+1)(n+2)/2-мерным арифметическим пространством коэффициентов полиномов. Уравнение определяет векторное поле на плоскости , которое будем отождествлять с уравнением . Оно не имеет ни особых точек, ни замкнутых траекторий. Поэтому фазовый портрет такого векторного поля естественно рассматривать на компактификации фазовой плоскости в виде круга Пуанкаре K. Уравнение назовем грубым, если существует такая его окрестность U , что для любого уравнения из U существует гомеоморфизм K, переводящий траектории уравнения X в траектории уравнения . На границе круга Пуанкаре уравнение имеет (бесконечно удаленные) особые точки. Получены условия, которым должна удовлетворять правая часть уравнения, чтобы все бесконечно удаленные особые точки были грубыми. Доказано, что уравнение является грубым тогда и только тогда, когда все бесконечно удаленные особые точки являются грубыми и не существует выходящей сепаратрисы особой точки, являющейся входящей сепаратрисой другой особой точки. Множество всех грубых уравнений открыто и всюду плотно в пространстве .
Ключевые слова
полиномиальные дифференциальные уравнения первого порядка; полиномиальные векторные поля на плоскости; круг Пуанкаре; грубость; бесконечно удаленные особые точки; сепаратрисы; first-order polynomial differential equations; planar polynomial vector fields
ON FIRST-ORDER POLYNOMIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS THAT ARE STRUCTURALLY STABLE IN THE POINCARÉ CIRCLE
The paper deals with differential equations of the first order , the right-hand sides of which are polynomials of degree not exceeding a number . The set of such equations is identified with the -dimensional arithmetic space of the coefficients of polynomials. The equation defines a vector field in , which we shall identify with the equation . It has neither singular points nor closed trajectories. Therefore, it is natural to consider the phase portrait of such a vector field on the compactification of the phase plane in the form of the Poincaré circle . An equation is said to be structurally stable if there exists a neighborhood of it such that for any equation there exists a homeomorphism taking the trajectories of the equation to the trajectories of the equation . On the boundary of the Poincaré circle, the equation has (infinitely far) singular points. Conditions are obtained which the right-hand side of the equation must satisfy, so that all the infinitely far singular points are structurally stable. It is proved that the equation is structurally stable if and only if all infinitely far singular points are structurally stable and there are no double separatrixes of singular points. The set of structurally stable equations is open and everywhere dense in .
Список литературы
-
Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А.Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука. 1966.
-
Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А.Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука. 1967.
-
Тлячев В.Б. Полиномиальные векторные поля на плоскости. Избранные вопросы / В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо, Д.С. Ушхо. Майкоп: Изд-во АГУ. 2012.
-
Ройтенберг В.Ш. О типичных полиномиальных векторных полях на плоскости // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия 4: Естественно-математические и технические науки. 2014. № 4 (147). С. 13-21.
-
Ройтенберг В.Ш. Грубость полиномиальных векторных полей в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Вестник Костромского государственного университета. 2014. Т. 20. № 7. С. 26-30.
-
Ройтенберг В.Ш. Полиномиальные векторные поля первой степени негрубости в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Математика и естественные науки. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып.10. Ярославль: Изд. дом ЯГТУ. 2015. С. 78-91.
-
Ройтенберг В.Ш. О связных компонентах множества полиномиальных векторных полей, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия: Естественно-математические и технические науки. 2015. № 4 (171). С. 22-29.
-
Ройтенберг В.Ш. О рождении предельных циклов полиномиальной системы из «бесконечности» // Вестник Адыгейского государственного университета. Серия: Естественно-математические и технические науки. 2017. №1 (196). С. 13-18.
-
Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях бесконечно удаленного тройного предельного цикла полиномиального векторного поля // Continuum. Математика. Информатика. Образование. 2017. №4. С. 16-25.
-
Хирш М. Дифференциальная топология. М.: Мир. 1979.
-
Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1 / Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. Москва-Ижевск: ИКИ. 2004.
-
Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Maier A.G. (1966) Kachestvennaja teorija dinamicheskih sistem vtorogo porjadka [The qualitative theory of dynamical systems of second order]. Moskva. Nauka.
-
Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Maier A.G. (1967) Teorija bifurkacij dinamicheskih sistem na ploskosti [The theory of bifurcations of dynamical systems on a plane]. Moskva. Nauka.
-
Tljachev V.B., Ushho A.D., Ushho D.S. (2012) Polinomial'nye vektornye polja na ploskosti. Izbrannye voprosy [Polynomial vector fields on the plane. Selected issues]. Majkop: AGU.
-
Roitenberg V. (2014) O tipichnyh polinomial'nyh vektornyh poljah na ploskosti [On generic polynomial vector fields on a plane]. Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija 4: Estestvenno-matematicheskie i tehnicheskie nauki. 2014, no. 4 (147), pp. 13-21.
-
Roitenberg V. (2014) Grubost' polinomial'nyh vektornyh polej v okrestnosti jekvatora sfery Puankare [Structural stability of polynomial vector fields in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere] Vestnik Kostromskogo gosudarstvennogo universiteta. 2014, vol. 20, no. 7, pp. 26-30.
-
Roitenberg V. (2015) Polinomial'nye vektornye polja pervoj stepeni negrubosti v okrestnosti jekvatora sfery Puankare [Polynomial vector fields of first order instability in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere]. Matematika i estestvennye nauki. Teorija i praktika: Mezhvuzovskij sbornik nauchnyh trudov. No. 10. Jaroslavl': JaGTU, 2015, pp. 78-91.
-
Roitenberg V. (2015) O svjaznyh komponentah mnozhestva polinomial'nyh vektornyh polej, grubyh v okrestnosti jekvatora sfery Puankare [On connected components of the set of structurally stable polynomial vector fields in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere] Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Estestvenno-matematicheskie i tehnicheskie nauki. 2015, no. 4 (171), pp. 22-29.
-
Roitenberg V. (2017) O rozhdenii predel'nyh ciklov polinomial'noj sistemy iz «beskonechnosti» [On the generation of limit cycles of a polynomial system from the infinity]. Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Serija: Estestvenno-matematicheskie i tehnicheskie nauki. 2017, no. 1 (196), pp. 13-18.
-
Roitenberg V. (2017) O bifurkacijah beskonechno udalennogo trojnogo predel'nogo cikla polinomial'nogo vektornogo polja [On bifurcations of an infinitely remote triple cycle of a polynomial vector field]. Continuum. Matematika. Informatika. Obrazovanie. 2017. №4, pp. 16-25.
-
Hirsh M. (1979) Differencial'naja topologija [Differential Topology]. Moskva: Mir.
-
Shilnikov L.P., Shilnikov A.L., Turaev D.V. Chua L. (2004) Metody kachestvennoj teorii v nelinejnoj dinamike. Chast' 1 [Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part 1]. Moskva-Izhevsk: IKI.