Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №2 (10) (2018)
О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАЦИОНАЛЬНОСТИ СУММ СЛОЖНЫХ КУБИЧЕСКИХ РАДИКАЛОВ
В работе символами N , Z , Q , Q +, Q -, J , R , R + обозначены множества натуральных, целых, рациональных, рациональных положительных, рациональных отрицательных, иррациональных, всех вещественных и положительных вещественных чисел, соответственно. Суммы сложных кубических радикалов, т.е. числа вида 3a +b +3a -b a ∈R \0, b ∈R +:b ,3a ±b ∈J , (*) появляются [Курош, 2004: 234-239] при решении кубических уравнений методом Кардано: уравнение x 3+3 px +2q =0 ( p , q ∈R ) в случае, когда число D =q 2+p 3 ∈ R + , имеет два сопряженных комплексных корня и один вещественный корень, определяемый формулой Кардано через его коэффициенты при помощи квадратных и кубических радикалов: x =3- q +q 2+p 3+3- q -q 2+p 3. (1) Под рационализацией алгебраических выражений понимается приведение их к выражениям, содержащим меньшее число алгебраических операций, которые следует произвести над входящими в них величинами для нахождения их значений. Задачи на рационализацию сумм сложных кубических радикалов при отдельных значениях параметров a и b не новы, но при этом отсутствуют алгоритмы нахождения таких a и b, при которых числа вида (*) допускают рационализацию. В частности, в работах [2]-[5], [7-11] приведены доказательства равенств сумм * для упорядоченных пар чисел (a ; b ): 2; 5, (7; 50), (9; 80), (20; 392), (45; 1682), (54; 2700), 6;84727 числам 1, 2, 3, 4, 22 , 6, 3, соответственно. Они проводятся по следующему алгоритму (А): каждое число вида (*) обозначается через x ; возведением в куб полученного равенства-уравнения находится равносильное ему на множестве вещественных чисел приведённое кубическое уравнение с рациональными коэффициентами; по коэффициентам этого уравнения с помощью метода Горнера или непосредственной подстановкой, используя известные утверждения, находят один его рациональный корень; доказывается, что два других его корня- комплексные числа. Из всего этого следует, что исходное число вида* равно найденному вещественному корню кубического уравнения, полученного на втором шаге. В данной работе приведены: две теоремы о достаточных условиях рациональности чисел вида 3a +b +3a -b ( a ∈Q \0, b ∈Q +: b ,3a ±b ∈J ) алгоритмы и примеры нахождения при известных значениях a таких значений параметра b , при которых указанные числа рациональны.
Ключевые слова
сложные кубические радикалы; кубические и иррациональные уравнения; формула Кардано; алгоритмы рационализации; complex cubic radicals; cubic and irrational equations; Cardano’s formula; rationalization algorithms
ON SUFFICIENT CONDITIONS OF THE RATIONALIZATION OF THE SUM OF COMPLEX CUBIC RADICALS
In this paper, the sets N , Z , Q , Q +, Q -, J , R and R + denote natural, integer, rational, rational positive, rational negative, irrational, all real and positive real numbers, respectively. The sums of complex cubic radicals, i.e. numbers of the form 3a +b +3a -b a ∈R \0, b ∈R +:b ,3a ±b ∈J , (*) appear [Kurosh, 2004: 234-239] when solving cubic equations byCardano’s method: the equation x 3+3px +2q =0 (p ,q ∈R ) in the case when the number D =q 2+p 3 ∈ R + , has two conjugate complex roots and one real root, defined by the Cardano formula in terms of its coefficients by means of square and cubic radicals: x =3-q +q 2+p 3+3-q -q 2+p 3. (1) The rationalization of algebraic expressions is understood a s reducing them to expressions containing a smaller number of algebraic operations that must be performed on the entering into them to find their values quantities. The problems of rationalizing the sums of complex cubic radicals for individual values of parameters a and b are not new, but there are no algorithms for finding a and b for which numbers of the form (*) allow rationalization. In particular, are given in [1] - [3], [5-10] the proofs of the equalities of the sums (*) for ordered pairs of numbers (a; b): (2, 5), (7; 50), (9; 80), (20; 392), (45, 1682), (54; 2700), (6; 847/27) to the numbers 1, 2, 3, 4, 22 , 6, 3, respectively. They are carried out according to the following algorithm (A): every number of the form (*) is denoted by x; the cube equation with rational coefficients equivalent to it on the set of real numbers is placed in the cube of the resulting equality-equation; on the coefficient s of this equation, using Horner's method or by direct substitution, using known statements, one finds its rational root; it is proved that its other two roots are complex numbers. From all this it follows that the initial number of the form (*) is equal to the found real root of the cubic equation obtained at the second step. In this paper we give: two theorems on sufficient conditions for the rationalization of numbers 3a +b +3a -b ( a ∈Q \0, b ∈Q +: b ,3a ±b ∈J ) ; algorithms and examples of finding for known values of a, those values of the parameter b for which these numbers are rational.
Список литературы
-
1. Волотов Н.Н. (2016) Технологии упрощения сумм сложных кубических радикалов / Н.Н. Волотов // Материалы областной научной конференции молодых учёных "Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания": Липецк, 20-21 октября 2016 г Липецк: ЛГПУ имени П.П. Семенова-Тян-Шанского. С. 45-54.
-
2. Дворянинов С.В. (2014) О решении уравнений вида /С.В. Дворянинов // Математика в школе. №4. С. 14-17.
-
3. Егерев В.К. (2013) Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы: учебное пособие / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; под ред. М.И. Сканави. 6-е изд. М.: ООО "Издательство "Мир и Образование": ООО "Издательство "ОНИКС ЛИТ". 608 с.: илл.
-
4. Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницин Ю.П., Шварцбурд С.И. (1990) Задачи повышенной трудности: учебное пособие для 10-11 кл. средней школы. М.: Просвещение. 48 с.
-
5. Купцов Л.П., Резниченко С.В., Терёшин Д.А. (1996) Российские математические олимпиады школьников: Книга для учащихся / под ред. чл.-корр. РАО Г.Н. Яковлева. Ростов-на-Дону: Феникс. 640 с.
-
6. Курош А.Г. (2004) Курс высшей алгебры. СПб: Лань. 13-е изд. 432 с.
-
7. Кущенко В.С. (1966) Сборник конкурсных задач по математике. Л.: Судостроение. 3-е изд., стереотип. 591 с.
-
8. Лидский В.Б., Овсянников Л.В., Тулайков А.И., Шабунин М.И. (1962) Задачи по элементарной математике. М.: Физматлит. 416 с.
-
9. Сивашинский И.Х. (1968) Задачи по математике для внеклассных занятий. М.: Просвещение. 312 с.
-
10. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. (1989) Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит. 576 с.
-
11. Шабунин М.И. (2006) Математика для поступающих в вузы: пособие / М.И. Шабунин. М.: Бином. 443 с.
-
1. Dvoryaninov S.V. (2014) O reshenii uravnenii’ vida [On the solution of equations of the form ] S.V. Dvoryaninov // Matematika v shkole. №4. P. 14-17.
-
2. Egerev V.K. (2013) Sbornik konkursny’h zadach po matematike dlya postupayuscih vo vtusy’: uchebnoe posobie [Collection of competitive tasks in mathematics technical schools applicants: a course book] / pod. red. M.I. Scanawi. 6-eizd. M.: OOO Mir i Obrazovanie: OOO ONYX-LIT. 608 p.: ill.
-
3. Ivlev B.M. (1996) Zadachi povy’shennoi’ trudnosti: uchebnoe posobie dlya 10-11 kl. srednei’ shkoly’ [Tasks of increased difficulty: a course book for high school students] B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsin, S.I. Schwarzbourd. - Moskva: Obrazovanie. 48 p.: ill.
-
4. Kuptsov L.P. (1996) Rossii’skie matematicheskie olimpiady’ shkolnikov: kniga dlya uchashihsya [Russian Mathematical Olympiads for Schoolchildren: A Book for Students] / L.P. Kuptsov, S.V. Reznichenko, D.A. Teryoshin; pod red. chl.-corr. RAO G.N. Yakovleva. Rostov-na-Donu: Fenix. 640 p.
-
5. Kurosh A.G. (2004) Kurs vy’sshei’ algebry’ [The course of higher algebra]/ A.G. Kurosh. - Sanct. Peterburg: Lan. 13-e izd. 432 p.
-
6. Kuschenko V.S. (1996) Sbornik konkursny’h zadach po matematike [Compilation of competitive tasks in mathematics]. L.: Sudostroenie. 3-e izd. 591 p.
-
7. Lidsky V.B., Ovsyannikov L.V., Tulajkov A.I., Shabunin M.I. (1962) Zadachi po elementarnoi’ matematike [Problems in elementary mathematics]. M.: Fizmatlit. 416 p.
-
8. Shabunin M.I. (2006) Matematika dlya postypayushih v vuzy’: posobie [Mathematics for students entering universities: course book]. Moskva: Binom, 2006. 443 p.
-
9. Sivashinsky’ I.Kh. (1968) Zadachi po matematike dlya vneklassny’h zanyatii’ [Problems in math- ematics for extracurricular activities] M.: Prosvesshenie, 1968. 312 p.
-
10. Tsy’pkin A.G. Pinsky A.I. (1989) Spravochnik po metodam resheniya zadach po matematike dlya srednei’ shkoly’ [Handbook on methods of solving problems in mathematics for secondary school]. 2-e izd. M.: Nauka. 576 p.
-
11. Volotov N.N. (2016) Tehnologiya uprosshenia sum slozhny’h kubitcheskih radikalov [Technologies for Simplifying the Sum of Complex Cubic Radicals/ N.N. Volotov // Materials of the regional scientific conference of young scientists "Current problems of natural sciences and their teaching": Lipetsk, October 20-21, 2016] Materialy’ oblastnoi’ nauchnoi’ konferentsii molody’h ucheny’h “Aktualny’eproblemy’ estestvenny’hnauk i ihprepodavaniya”: Lipetsk, 20-21 oktyabrya 2016. Lipetsk: LGPU imeni P.P. Semenova-Tyan-Shanskogo. P. 45-54.