Журнал «Continuum. Математика. Информатика. Образование»
Выпуск №2 (10) (2018)
ON ROMANOVSKY TYPE OPERATORS AND EQUATIONS WITH PARTIAL INTEGRALS
В статье приводится задача теории марковских цепей, поставленная в 1932 году известным советским математиком В.И. Романовским, вводится определение операторов типа Романовского и приводится их классификация. Исследуются линейные операторы типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций. Свойства таких операторов лежат в основе исследования разрешимости соответствующих уравнений типа Романовского и могут быть использованы при исследовании интегральных уравнений некоторых прикладных задач. Основные результаты получены с применением общей и спектральной теории линейных операторов, а также методов теории интегральных уравнений. В исследовании изучены различные классы таких операторов (с непрерывными, вырожденными, с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами) и их пространства. Критерии фредгольмовости и обратимости операторов типа Романовского с перечисленными выше типами ядер применены к изучению условий разрешимости соответствующих уравнений. Изучены композиции операторов и выделен класс операторов, композиции которых являются интегральными операторами. С использованием Теорем Рисса и Радона о представлении линейных функционалов и операторов в пространстве непрерывных функций двух переменных, получены критерии действия операторов типа Романовского с частными интегралами в этом пространстве. Эти критерии применены к изучению свойств пространств операторов типа Романовского с частными интегралами. Получены достаточные условия действия таких операторов в пространстве непрерывных функций и в пространствах Лебега, критерии регулярности операторов, условия существования двойственных к ним операторов. Изучена структура двойственных операторов в пространствах Лебега.
Ключевые слова
операторы с частными интегралами; фредгольмовость; линейный функционал; спектральная теория; двойственные операторы; operators with partial integrals; Fredholm property; linear functional; spectral theory; dual operators
ON ROMANOVSKY TYPE OPERATORS AND EQUATIONS WITH PARTIAL INTEGRALS
The article presents the problem of the theory of Markov chains, formulated in 1932 by the famous Soviet mathematician V.I. Romanovskii, we introduce the definition of operators of Romanovskii type and classify theirs. We investigate linear Romanovsky type operators with partial integrals in the space of continuous functions. The properties of such operators underlie the investigation of the solvability of the corresponding Romanovsky type equations and can be used in the investigation of integral equations of some applied problems. The main results are obtained using the general and spectral theory of linear operators, as well as the methods of the theory of integral equations. In the under investigation, various classes of such operators (with continuous, degenerate, with global continuous and indecomposable kernels) and their spaces are studied. Criteria for the Fredholm property, and invertibility of Romanovsky type operators with the types of kernels listed above are applied to the study of the solvability conditions for the corresponding equations. The compositions of operators are studied and a class of operators whose compositions are integral operators is singled out. Using the Riesz and Radon Theorems on the representation of linear functionals and operators in the space of continuous functions of two variables, we obtain criteria for the action of operators of Romanovsky type with partial integrals in this space. These criteria are applied to the study of the properties of spaces of Romanovsky type operators with partial integrals. Sufficient conditions for the action of such operators in the space of continuous functions and in Lebesgue spaces, criteria for regularity of operators, conditions for the existence of dual operators are obtained. The structure of dual operators in Lebesgue spaces is studied.
Список литературы
-
1. Елецких И.А. Вопросы теории операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами: Дисс. … канд. физ.-матем. наук. Липецк, 2005. 112 с.
-
2. Калитвин А.С. Интегральные уравнения типа В.И. Романовского с частными интегралами. Липецк: ЛГПУ, 2014. 195 с.
-
3. Фролова Е.В. Линейные операторы с частными интегралами в пространстве непрерывных функций: Дисс. … канд. физ.-матем. наук. Липецк, 2000. 123 с.
-
4. Appell J. A note on the Fredholm property of partial integral equations of Romanovskij type / J. Appell, I.A. Eletskikh, A.S. Kalitvin // J. Integral Equ. Applications. 2004. V. 16, № 1. Р. 25-32.
-
1. Yeletskikh I.A. (2005) Voprosy teorii operatorov i uravneniy tipa Romanovskogo s chastnymi integralami [Questions of the theory of operators and equations of Romanovskii type with partial integrals]: Diss.. kand. fiz.-matem. nauk. Lipetsk. 112 p.
-
2. Kalitvin A.S. (2014) Integral'niye uravneniya tipa V.I. Romanovskogo s chastnymi integralami [Integral equations of Romanovskii type with partial integrals] Lipetsk.195 p.
-
3. Frolova Ye.V. (2000) Linejnye operatory s chastnymi integralami v prostranstve nepreryvnyh funkcij [Linear operators with partial integrals in the space of continuous functions]: Diss.. kand. fiz.-matem. nauk. Lipetsk. 123 p.
-
4. Appell J. (2004) A note on the Fredholm property of partial integral equations of Romanovskij type / J. Appell, I.A. Eletskikh, A.S. Kalitvin // J. Integral Equ. Applications. V. 16, № 1. Р. 25-32.